Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，
（1）若点（n，S_n）均在函数y=f（x）的图象上，且f（x）=3x²-2x，求{a_n}的通项公式；
（2）若a₁=a₂=1，且

an+1

an

=λ

an

an-1

（0＜λ＜1，n=2，3，4…），证明：

a1+k

a1

+

a2+k

a2

+…+

an+k

an

＜

λk

1-λk

（常数k∈N^*且k≥3）

Answer 1

分析：（1）先利用点（n，S_n）均在函数y=f（x）的图象上，且f（x）=3x²-2x，求出数列{a_n}的前n项和为S_n；再利用已知前n项和求通项公式的方法即可求{a_n}的通项公式；
（2）先利用

an+1

an

=λ

an

an-1

求得 

an+1

an

=λ^n-1；再利用叠乘法求得数列{a_n}的通项公式；代入所求问题整理后再借助于0＜λ＜1以及常数k∈N^*且k≥3即可证明结论．

解答：解：（1）由题得：s_n=3n²-2n．
故当n=1时，a₁=s₁=1
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=6n-5
由于当n=1时，6n-5=1也成立
所以a_n=6n-5
（2）令bn=

an+1

an

，由已知有 b₁=1，b_n=λb_n-1
所以{b_n}是等比数列，b_n=λ^n-1 即 

an+1

an

=λ^n-1．
∴

a2

a1

•

a3

a2

•

a4

a3

…

an

an-1

=

an

a1

=λ

(n-1)(n-2)

2

∴a_n=λ

(n-1)(n-2)

2

．
∴

an+k

an

=λ

(n+k-1)(n+k-2)

2

-

(n-1)(n-2)

2

=λ

k2-3k+2nk

2

∴

a1+k

a1

+

a2+k

a2

+…+

an+k

an

=λ

k2-3k

2

•[λ^k+λ^2k+…+λ^nk]
=λ

k2-3k

2

•（1-λ^nk）•

λk

1-λk

．
∵0＜λ＜1，k≥3
∴0＜1-λ^nk＜1，0＜λ

k2-3k

2

≤1，0＜λ

k2-3k

2

•（1-λ^nk）＜1
∴

a1+k

a1

+

a2+k

a2

+…+

an+k

an

=λ

k2-3k

2

•（1-λ^nk）•

λk

1-λk

＜

λk

1-λk

．
即结论成立．

点评：本题主要考查数列递推式以及数列与不等式的综合问题．解决第二问的关键在于利用叠乘法求得数列{a_n}的通项公式．