Question

△ABC的外接圆半径R=

3

，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且

2sinA-sinC

sinB

=

cosC

cosB

（1）求角B和边长b；
（2）求S_△ABC的最大值及取得最大值时的a，c的值，并判断此时三角形的形状．

Answer 1

分析：（1）运用两角和的正弦公式将已知等式化简整理，得到2sinAcosB=sin（B+C），根据三角函数的诱导公式可得sin（B+C）=sinA＞0，从而得出cosB=

1

2

，可得B=

π

3

，最后由正弦定理加以计算，可得边b的长；
（2）由b=3且cosB=

1

2

，利用余弦定理算出a²+c²-ac=9，再根据基本不等式算出ac≤9．利用三角形的面积公式算出S_△ABC=

3

4

ac，从而得到当且仅当a=c时，S_△ABC有最大值

9 3

4

，进而得到此时△ABC是等边三角形．

解答：解：（1）∵

2sinA-sinC

sinB

=

cosC

cosB

，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，可得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
∵在△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，
∴2sinAcosB=sinA，可得cosB=

1

2

．
又∵B∈（0，π），∴B=

π

3

，
由正弦定理

b

sinB

=2R，可得b=2RsinB=2

3

•sin

π

3

=3；
（2）∵b=3，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得a²+c²-ac=9，
因此，ac+9=a²+c²≥2ac，可得ac≤9，当且仅当a=c时等号成立，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac，∴S△ABC≤

3

4

×9=

9 3

4

由此可得：当且仅当a=c时，S_△ABC有最大值

9 3

4

，此时a=b=c=3，可得△ABC是等边三角形．

点评：本题已知三角形的内角满足的三角函数关系式，求角B的大小并依此求三角形面积的最大值，着重考查了正余弦定理、两角和的正弦公式、基本不等式和三角形的面积公式等知识，属于中档题．