Question

设a=x²-x+1，b=x²-2x，c=2x-1，若a，b，c分别为△ABC的相应三边长，
（1）求实数x的取值范围；
（2）求△ABC的最大内角；
（3）设△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，求

R

r

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）构成三角形的条件是三边均为正数，且任意两边之和大于第三边，可求实数x的取值范围；
（2）先根据边长之间的关系，确定A为最大角，进而利用余弦定理，可求△ABC的最大内角；
（3）根据正弦定理确定△ABC的外接圆半径为R，根据等面积确定内切圆半径为r，从而可得

R

r

的不等式，进而可求其取值范围．

解答：解：（1）由题意，
∵构成三角形的条件是三边均为正数，∴

x2-x+1＞0 x2-2x＞0 2x-1＞0

⇒

x＞2或x＜0 x＞ 1 2

，∴x＞2，
又∵任意两边之和大于第三边
∴a-b=x+1＞0，a-c=（x-1）（x-2）＞0
∴b+c＞a，∴x²-2x+2x-1＞x²-x+1，∴x＞2…（4分）
（2）由（1）可知A为最大角，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(x2-2x)2+ (2x-1)2-(x2-x+1)2

2(x2-2x)(2x-1)

=-

1

2

，
∵A为三角形的内角，∴A=120°．…（10分）
（3）根据正弦定理得：R=

a

2sinA

=

x2-x+1

3

…（11分）
利用三角形的面积相等可得S△ABC(x)=

1

2

bcsinA=

3

4

x(x-2)(2x-1)，
∴r=

2s

a+b+c

=

3

2

(x-2)…（12分）
∴

R

r

=

2(x2-x+1)

3(x-2)

(x＞2)…（14分）
令x-2=t＞0，则

R

r

=

2

3

(t+

3

t

+3)
∵t＞0，
∴t+

3

t

≥ 2

3

∴

R

r

≥

6+4 3

3

∴

R

r

∈[

6+4 3

3

，+∞)…（16分）

点评：本题的考点是解三角形，主要考查构成三角形的条件，考查正弦、余弦定理，同时考查基本不等式的运用，其中构建

R

r

的表达式是解题的关键．