Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，的离心率为e=

3

2

，A、B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且|

OM

|=

5

2

．
（I）求椭圆的方程；
（II）过（-1，0）的直线l与椭圆交于P、Q两点，求△POQ的面积的最大时直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据离心率为e=

3

2

，|

OM

|=

5

2

，建立方程组，求得椭圆的基本量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）方法一：设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，消去y，表示出△POQ的面积，利用基本不等式求得结论．
方法二：设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，消去x，表示出△POQ的面积，利用基本不等式求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则

a2=b2+c2 a2+b2=5 c a = 3 2

，解得a=2，b=1，c=

3

，
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）方法一：设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，则S=

3

2

…（6分）
当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x+1）（k≠0），联立椭圆方程

x2

4

+y2=1，
得（4k²+1）x²+8k²x+4（k²-1）=0，两个根为x₁，x₂，x1+x2=-

8k2

4k2+1

，x1•x2=

4(k2-1)

4k2+1

…（7分）
则|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

4 3k2+1

4k2+1

（k≠0），
又原点到直线l的距离d=

|k|

1+k2

，…（8分）
所以S=

1

2

|PQ|•d=

1

2

1+k2

4 3k2+1

4k2+1

|k|

1+k2

=2

(3k2+1)k2

4k2+1

（k≠0）
=2

3k4+k2 16k4+8k2+1

=2

3 16 - 8k2+3 16(16k4+8k2+1)

＜2•

3

4

=

3

2

…（11分）
所以，当直线l的方程为x=-1时，△POQ面积最大．…（12分）
方法二：设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，则S=

3

2

．…（6分）
当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x+1）（k≠0），联立椭圆方程

x2

4

+y2=1，得(4+

1

k2

)y2-

2

k

y-3=0，两个根为y₁，y₂，△＞0恒成立，y1+y2=

2k

4k2+1

，y1•y2=

-3k2

4k2+1

，…（7分）|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1•y2

=4

3k4+k2 16k4+8k2+1

…（8分）
∴S△POQ=S△POT+S△QOT=

1

2

×|OT|×(|y1|+|y2|)=

1

2

×(|y1-y2|)
=

1

2

3- 8k2+3 16k4+8k2+1

＜2•

3

4

=

3

2

…（11分）
所以，当直线l的方程为x=-1时，△POQ面积最大．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确表示三角形的面积是关键．