Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）若不等式恒成立，求的最小值（其中e为自然对数的底数）.

Answer 1

【答案】（1）当时，无极值；当时，极大值为，无极小值

（2）-1

【解析】

（1）求出导函数，确定函数单调性，得极值，需分类讨论．

（2）恒成立，设，求出的最大值，由得出满足的不等关系，然后得，求得的最小值即得结论．

（1）解，

当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值.

当时，由，得，函数在上单调递增，由，得，

函数在上单调递减，极大值为，无极小值.

综上所述，当时，无极值；

当时，极大值为，无极小值.

（2）由可得，

设，所以，，

当时，，在上是增函数，所以不可能恒成立，

当时，由，得，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以当时，取最大值，，

所以，即，所以，

令，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时，取最小值，即，所以的最小值为-1.