Question

【题目】已知函数.

（1）若函数的极小值为1，求实数m的值；

（2）若函数在时，其图象全部都在第一象限，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）求导得到，讨论和两种情况，根据单调区间计算极值得到答案.

（2）题目等价于时，恒成立，构造函数，求导，计算导函数的导数，讨论和两种情况，根据函数的单调性计算最值得到答案.

（1），，

①若，则在R上恒成立，

∴在单调递增，所以无极值；

②若，当时，，当时，，

即在单调递减，在单调递增，

所以的极小值为，由，解得.

综上所述：.

（2），函数图像全部在第一象限，等价于时，恒成立，

令，，

令，，令，

显然在单调递增，∴.

当时，，所以，∴在单调递增，

∴，即，∴在单调递增，

所以，此时符合题意；

当时，，∴，使，

故在恒为负值，在单调递减，此时，

所以在单调递减，所以，此时不符合题意.

故所求m的取值范围为.