Question

【题目】已知函数f(x)=aex﹣x，

（1）求f(x)的单调区间，

（2）若关于x不等式aex≥x+b对任意和正数b恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析.（2）

【解析】

（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；

（2）先根据（1）利用导数和函数最值的关系求出，可得，设，利用导数求出函数的最小值即可.

（1）f′(x)=aex﹣1，

当a≤0时， <0，f(x)在R上单调递减，

若a>0时，令=aex﹣1=0，x=﹣lna，

在x>﹣lna时， >0，f(x)为增函数，

在x<﹣lna时， <0，f(x)为减函数，

所以，当时，的单调减区间为，无增区间；

当时，的单调减区间为，增区间为.

（2）f(x)=aex﹣x，由题意f(x)min≥b，

由（1）可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递减，无最小值，不符合题意，

当a>0时，f(x)min=f(﹣lna)=1+lna≥b，

∴，

设h(a)，则 ，

a∈(0，1]， <0；a∈[1，+∞)，≥0，

∴h(a)min=h（1）=1.

所以的最小值为.