Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点，分别是曲线，上两动点且，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）6

【解析】

（Ⅰ）根据题意，消参化简得曲线的普通方程，对的极坐标方程，两边同乘，利用及坐标公式化简可得曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）根据题意，设极坐标，则，分别代入极坐标方程中，求得的值，，根据三角函数有界性，即可求解最值.

（Ⅰ）由条件知消去参数得到曲线的普通方程为.

因可化为，又，，代入得，于是曲线的直角坐标方程为.

（Ⅱ）由条件知曲线，均关于轴对称，而且外切于原点，

不妨设，则，

因曲线的极坐标方程为，

所以，，

于是，

所以当时，面积的最大值为6.