Question

【题目】设函数f（x）.

（1）若x＝1是函数f（x）的一个极值点，求k的值及f（x）单调区间；

（2）设g（x）＝（x+1）ln（x+1）+f（x），若g（x）在[0，+∞）上是单调增函数，求实数k的取值范围；

（3）证明：当p＞0，q＞0及m＜n（m，n∈N*）时，.

Answer 1

【答案】（1）k＝2，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增（2）k（3）证明见解析；

【解析】

（1）求出函数 的导数，利用求出k，令即求出函数的单调区间；

（2）求出函数的导数，问题转化为g′（x）＝h（x）＝ln（x+1）+kx2﹣x≥0恒成立，求出h（x）的导数，通过讨论k的范围，求出函数h（x）的最小值，求出k的范围即可；

（3）问题转化为证明ln[1]ln[1]，不妨设p＞q＞0，构造函数φ（x）ln（1+ax），（x＞0），其中a∈（0，1），根据函数的单调性证明即可.

解：（1）f′（x）＝kx2﹣x﹣1，

∵x＝1是函数f（x）的一个极值点，

∴f′（1）＝k﹣1﹣1＝0，解得：k＝2，

∴f′（x）＝2x2﹣x﹣1，

当f′（x）＞0，即x或x＞1时，f（x）递增，

当f′（x）＜0，即x＜1时，f（x）递减，

∴f（x）在（﹣∞，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增；

（2）g（x）＝（x+1）ln（x+1）x3x2﹣x，

g′（x）＝ln（x+1）+kx2﹣x，

若g（x）在[0，+∞）上是单调增函数，则g′（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，

令h（x）＝ln（x+1）+kx2﹣x，h′（x）2kx﹣1，

（i）若k≤0，则h′（x）＜0，h（x）在[0，+∞）递减，

∴h（x）≤h（0）＝0，不合题意；

（ii）若k＞0，由h′（x）＝0解得：x＝0，x1，

①当0＜k时，0，

∴x∈（0，）时，h′（x）＜0，h（x）递减，

∴h（x）≤h（0）＝0，不合题意；

②当k时，0，

∴x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，

∴h（x）≥h（0）＝0，即g′（x）≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，

综上，k时，g（x）在[0，+∞）是单调递增函数；

（3）∵1，

∴

[1]2n﹣1＞[1]2m﹣1，

ln[1]ln[1]，

不妨设p＞q＞0，则01，

构造函数φ（x）ln（1+ax），（x＞0），其中a∈（0，1），

φ′（x），

由（2）知ln（x+1）＞xx2，

∴ln（ax+1）＞axa2x，

∴φ′（x），

∵a∈（0，1），x＞0，

∴lna＜0，ax＞a2xa2x，

∴φ′（x）＜0，φ（x）在（0，+∞）递减，

∵1≤m＜n，∴0＜2m﹣1＜2n﹣1，

∴ln[1]ln[1]，

故原不等式成立.