(本小题满分12分)
已知函数的图象过坐标原点O,且在点
处的切线的斜率是
.
(Ⅰ)求实数的值; (Ⅱ)求
在区间
上的最大值;
(Ⅲ)对任意给定的正实数,曲线
上是否存在两点P、Q,使得
是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在
轴上?说明理由.
解:(Ⅰ)当时,
,则
。
依题意得:,即
解得
………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①当时,
,
令得
当变化时,
的变化情况如下表:
| | 0 | | | |
| — | 0 | + | 0 | — |
|
| 极小值 | 单调递增 | 极大值 |
|
又,
,
。∴
在
上的最大值为2.
②当时,
.当
时,
,
最大值为0;
当时,
在
上单调递增。∴
在
最大值为
。
综上,当时,即
时,
在区间
上的最大值为2;
当时,即
时,
在区间
上的最大值为
。……8分
(Ⅲ)假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在
轴两侧。
不妨设,则
,显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形,∴
即 (*)
若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;
若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.
若,则
代入(*)式得:
即,而此方程无解,因此
。此时
,
代入(*)式得: 即
(**)
令
,则
∴在
上单调递增, ∵
∴
,∴
的取值范围是
。
∴对于,方程(**)总有解,即方程(*)总有解。
因此,对任意给定的正实数,曲线
上存在两点P、Q,使得
是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在
轴上。……………12分
科目:高中数学 来源: 题型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(2009湖南卷文)(本小题满分12分)
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的、
、
.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:
(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分)
某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2,
(注:利润与投资单位是万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入到A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元.
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