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    已知椭C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    1
    2
    ，椭圆的短轴端点与双曲线
    y2
    2
    -x2    =1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
    （Ⅰ）求椭C的方程；
    （Ⅱ）求
    OA
    •
    OB
    的取值范围．
    （I）由双曲线
    y2
    2
    -x2    =1得焦点(0，±
    		3
    )    ，得b=
    		3
    ．
    又e=
    c
    a
    =
    1
    2
    ，a2=b2+c2，联立解得a2=4，c=1．
    故椭圆C的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ；
    （II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4），联立
    y=k(x-4)
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ，
    （4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0，
    由△=（-32k2）2-4（4k2+3）（64k2-12）＞0得k2＜
    1
    4
    ．
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
    32k2
    4k2+3
    ，x1x2=
    64k2-12
    4k2+3
    ，
    ∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2，
    ∴
    OA
    •
    OB
    =x1x2+y1y2=(1+k2)•
    64k2-12
    4k2+3
    -4k2•
    32k2
    4k2+3
    +16k2    =25-
    87
    4k2+3
    ，
    ∵0≤k2＜
    1
    4
    ，∴-
    87
    3
    ≤
    87
    4k2+3
    ＜-
    87
    4
    ，
    ∴
    OA
    •
    OB
    ∈[-4，
    13
    4
    )    ．
    故
    OA
    •
    OB
    的取值范围为[-4，
    13
    4
    )    ．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知抛物线x2=4
    		3
    y    的准线过双曲线
    x2
    m2
    -y2=-1    的一个焦点，则双曲线的离心率为（　　）
    A．
    3
    		2
    4
    		B．
    		6
    2
    		C．
    		3
    		D．
    		3
    3

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    [理]如图，已知动点A，B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    的实线上运动，若AB∥x轴，点N的坐标为（1，0），则△ABN的周长l的取值范围是______．
    [文]点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则P到直线y=x-2的距离的最小值是______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C1：
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右顶点为P（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．
    （Ⅰ）求椭圆C1的方程；
    （Ⅱ）设抛物线C2：y=x2+h（h∈R）的焦点为F，过F点的直线l交抛物线与A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C2的切线交于Q点，且Q点在椭圆C1上，求△ABQ面积的最值，并求出取得最值时的抛物线C2的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		2
    2
    ，左焦点为F，过原点的直线l交椭圆于M，N两点，△FMN面积的最大值为1．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）设P，A，B是椭圆E上异于顶点的三点，Q（m，n）是单位圆x2+y2=1上任一点，使
    OP
    =m
    OA
    +n
    OB
    ．
    ①求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
    ②求OA2+OB2的值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知P是椭圆
    x2
    45
    +
    y2
    20
    =1    的第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，则实数m的取值范围是（　　）
    A．[-7，8]B．[-
    9
    2
    ，
    21
    2
    ]    		C．[-2，2]D．（-∞，-7]∪[8，+∞）

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0），P为平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为-
    1
    4
    ，记动点P的轨迹为C．
    （1）求曲线C的轨迹方程；
    （2）若点D（0，2），点M，N是曲线C上的两个动点，且
    DM
    =λ
    DN
    ，求实数λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），F1、F2是其左右焦点，其离心率是
    		6
    3
    ，P是椭圆上一点，△PF1F2的周长是2（
    		3
    +
    		2
    ）．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）试对m讨论直线y=2x+m（m∈R）与该椭圆的公共点的个数．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    过点C（4，0）的直线与双曲线
    x2
    4
    -
    y2
    12
    =1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（　　）
    A．|k|≥1B．|k|＞
    		3
    		C．|k|≤
    		3
    		D．|k|＜1

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