Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设、为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且，射线，交曲线分别于点，.求面积的最小值，并求此时四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）：，：.（2）面积的最小值：，四边形的面积为：.

【解析】

（1）将曲线消去参数即可得到的普通方程，将，代入曲线的极坐标方程即可；

（2）由（1）得曲线的极坐标方程，设，，，利用方程可得，再利用基本不等式得，根据题意知，进而可得四边形的面积.

（1）由曲线的参数方程为（为参数）

消去参数得

即曲线的极坐标方程为：，化简为：

的极坐标方程为

可得，

根据极坐标与直角坐标的互化公式：

故：，

曲线的直角坐标方程：.

（2）设

：

，，

故

根据均值不等式可得：，

当且仅当（即）时取“=”.

，

此时

故所求四边形的面积为.