Question

【题目】已知抛物线C1：和圆C2：(x-6)2+(y-1)2=1，过圆C2上一点P作圆的切线MN交抛物线C，于M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率k>1时的直线方程为（ ）

A.4x-3y-22=0B.4x-3y-16=0C.2x-y-11+5=0D.4x-3y-26=0

Answer 1

【答案】D

【解析】

设点和直线MN的方程为：，其中，则，联立并结合韦达定理可得，，利用直线MN与圆C2相切，则有，再根据直线C2P与直线MN垂直，则，消去n化简可得，降次整理可得，令，利用导数求出单调性可证明在无解，故可得，代入可求n，从而可求直线MN的方程.

画出曲线图像如下图：

由题意知，切线MN的斜率k存在且不为0，设点，

设直线MN的方程为：，其中，则，

联立，可得，

则有，，，

根据中点坐标公式可得，，，

又直线MN与圆C2相切，则有，即①，

依题意，直线C2P与直线MN垂直，则，

整理得②，

将②代入①并整理得，，

降次化简可得，③，

令，

则，因为，

所以，即在单调递减，

则在上恒成立，即在无解，

从而③式的解只有一个，，代入②式可得，，

所以，直线MN的方程为：，整理得，4x-3y-26=0.

故选：D.