Question

（2013•徐州一模）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°．
（1）求BC的长度；
（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的张角分别为∠APB=α，∠DPC=β，问点P在何处时，α+β最小？

Answer 1

分析：（1）作AN⊥CD于N，问题转化为求△ACD边CD上的高．设AN=x，只要建立起关于x的方程，则问题可解．
（2）利用（1）设出BP为t，直接求出α、β的正切值，然后求出∠ADB的正切值，利用基本不等式求解表达式的最小值，推出BP是值即可．

解答：解：（1）如图作AN⊥CD于N．
∵AB∥CD，AB=9，CD=15，∴DN=6，EC=9．
设AN=x，∠DAN=θ，
∵∠CAD=45°，∴∠CAN=45°-θ．
在Rt△ANC和Rt△AND中，
∵tanθ=

6

x

，tan（45°-θ）=

9

x

∴

9

x

=tan（45°-θ）=

1-tanα

1+tanα

∴

9

x

=

1- 6 x

1+ 9 x

，化简整理得x²-15x-54=0，
解得x₁=18，x₂=-3（舍去）．
BC的长度是18 m．
（2）设BP=t，所以PC=18-t，
tanα=

9

t

，tanβ=

15

18-t

，
所以tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

9 t + 15 18-t

1- 9 t × 15 18-t

=-

6

t-45+ 1350 t+27

=-

6

t+27+ 1350 t+27 -72

≥-

6

2 1350 -72

当且仅当t+27=

1350

t+27

，即t=15

6

-27时，α+β最小．
P在距离B15

6

-27时，α+β最小．

点评：考查了解三角形的实际应用．解这类题的关键是建立数学模型，设出恰当的角．考查两角和与差的三角函数，考查计算能力．