练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2013•徐州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的焦距为2，且过点(
    		2
    ，
    		6
    2
    )    ．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
    （ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；
    （ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．
    分析：（1）利用椭圆的标准方程及参数a，b，c之间的关系即可求出；
    （2）（i）利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明；
    （ii）利用直线的点斜式及其（i）的有关结论即可证明．
    解答：解：（1）由题意得2c=2，∴c=1，又
    2
    a2
    +
    3
    2b2
    =1    ，a2=b2+1．
    消去a可得，2b4-5b2-3=0，解得b2=3或b2=-
    1
    2
    （舍去），则a2=4，
    ∴椭圆E的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．
    （2）（ⅰ）设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），则k1=
    y0
    2
    ，k2=
    y1
    x1-2
    ，
    ∵A，P，M三点共线，∴y0=
    4y1
    x1+2
    ，∴k1k2=
    y0y1
    2(x1-2)
    =
    4y12
    2(
    x
    2
    1
    -4)
    ，
    ∵P（x1，y1）在椭圆上，∴
    y
    2
    1
    =
    3
    4
    (4-
    x
    2
    1
    )    ，故k1k2=
    4y12
    2(
    x
    2
    1
    -4)
    =-
    3
    2
    为定值．
    （ⅱ）直线BP的斜率为k2=
    y1
    x1-2
    ，直线m的斜率为km=
    2-x1
    y1
    ，
    则直线m的方程为y-y0=
    2-x1
    y1
    (x-2)    ，y=
    2-x1
    y1
    (x-2)+y0=
    2-x1
    y1
    x-
    2(2-x1)
    y1
    +
    4y1
    x1+2
    =
    2-x1
    y1
    x+
    2(x12-4)+4
    y
    2
    1
    (x1+2)y1
    =
    2-x1
    y1
    x+
    2(x12-4)+12-3
    x
    2
    1
    (x1+2)y1
    =
    2-x1
    y1
    x+
    2-x1
    y1
    =
    2-x1
    y1
    (x+1)    ，
    即y=
    2-x1
    y1
    (x+1)    ．
    所以直线m过定点（-1，0）．
    点评：熟练掌握椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键．善于利用已经证明过的结论是解题的技巧．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•徐州一模）已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞0，a≠1）．
    （1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
    （2）求函数f（x）单调增区间；
    （3）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•徐州一模）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°．
    （1）求BC的长度；
    （2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的张角分别为∠APB=α，∠DPC=β，问点P在何处时，α+β最小？

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•徐州一模）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出
    25
    25
    人．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•徐州一模）选修：4-2：矩阵与变换
    若圆C：x2+y2=1在矩阵A=
    a，0
    0，b
    （a＞0，b＞0）对应的变换下变成椭圆E：
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ，求矩阵A的逆矩阵A-1．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案