Question

【题目】设数列满足，为的前项和.证明：对任意，

（1）当时，；

（2）当时，；

（3）当时，.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】试题解析：

(1)①当时，显然成立；

②假设当，，

则当时，.

由①②，.

(2)从而，

即，

于是，即；

（3）当时，由（Ⅰ），，故.

令，由（1）（2），.

由，可得.

从而，

又，

故，即.

注意到，

故，

即，亦即.

所以当时，.

点睛:本题以数列的通项公式、前项和有关知识为背景，旨在考查与数列有关的不等式的推理论证能力、分析问题解答问题的能力。解答时，分别采用了分析法、综合法、数学归纳法、放缩法等常用的数学思想方法进行分析推证。不等式的证明问题是高考和各级各类考试的难点内容和题型，求解时应具体问题具体分析灵活采用不同的方法进行综合运用，以达证明之目的。如第一问用的数学归纳法，第二问则是采用的分析缩放的思想进行推证的，第三问则利用数列的递推关系，巧妙地运用缩放的办法进行推证的。