Question

【题目】已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．

（1）求抛物线G的方程；

（2）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+（y﹣1）2＝1交于A、C、D、B四点，试证明|AC||BD|为定值；

（3）过A、B分别作抛物G的切线l1，l2且l1，l2交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x2＝4y；（2）详见解析；（3）2.

【解析】

（1）利用抛物线的焦半径公式求P；（2）设直线AB方y＝kx+1，与抛物线联立消去，结合焦半径公式化简从而得到定值；（3）欲求面积之和的最小值，利用直线AB的斜率作为自变量，建立函数模型，转化成求函数的最值问题．

（1）由题知，抛物线的准线方程为y+1＝0，故1

所以抛物线C的方程为x2＝4y．

（2）当直线AB的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个交点，

故直线AB的斜率一定存在，

设直线AB方y＝kx+1交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2），

由抛物线定义知|AF|＝y1+1，|BF|＝y2+1，

所以|AC|＝y1，|BD|＝y2，

由得x2﹣4kx﹣4＝0，

显然△＞0，则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，

所以y1y21，所以|AC||BD|为定值1．

（3）由x2＝4y，yx2， x，

得直线AM方程yx1（x﹣x1）（1），

直线BM方程yx2（x﹣x2）（2），

由（2）﹣（1）得（x1﹣x2）x，

所以x（x1+x2）＝2k，∴y＝﹣1

所以点M坐标为（2k，﹣1），

点M到直线AB距离d2，

弦AB长为|AB|4（1+k2），

△ACM与△BDM面积之和，

S（|AB|﹣2）d（2+4k2）×22（1+2k2），

当k＝0时，即AB方程为y＝1时，△ACM与△BDM面积之和最小值为2．