Question

已知函数f(x)=，其中a>0.

（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）y=6x-9.     （Ⅱ）0<a<5.

【解析】(I)当a=1时，利用导数求出的值，也就是切线的斜率，进而可写出点斜式方程，再化成一般式方程即可.

（II）本小题的实质是求在上最小值，满足即可.

由于涉及到参数a,所以再求最小值时需要对a值进行讨论

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9. 

（Ⅱ）f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.

以下分两种情况讨论：

（1）         若，当x变化时，f’(x)，f(x) 的变化情况如下表：

X		0
f’(x)	＋	0	－
f(x)		极大值

     当等价于

     解不等式组得 -5<a<5. 因此.

（2）         若a>2，则.当x变化时，f’(x), f（x）的变化情况如下表：

X		0
f’(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		极大值		极小值

当时，f（x）>0等价于即

解不等式组得或.因此2<a<5.   

综合（1）和（2），可知a的取值范围为0<a<5.