Question

【题目】数列的前项1，3，7，，（）组成集合，从集合中任取（）个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记.例如：当时，，，；时，，，，.

（1）当时，求，，，的值；

（2）证明：时集合的与时集合的（为以示区别，用表示）有关系式（，）；

（3）试求（用表示）.

Answer 1

【答案】（1），，，（2）见解析（3）

【解析】

（1）当时，得出，根据定义得出、、的值，可计算出的值；

（2）当时，集合有个元素，比时的集合多了一个元素；

，对应的包含两个部分：（i）若不含，则中的任何一项恰好为时集合的对应的中的一项；（ii）若中含的任何一项，除了，其余的个数均来自集合，这个数的乘积恰好为集合所对应的中的一项，即可证明；

（3）由，，，猜想，下面利用数学归纳法进行即可.

（1）当时，，

，，，

（2）证明：当时，集合有个元素，比时的集合多了一个元素：.∴对应的包含两个部分：

若中不含，则中的任何一项恰好为时集合的对应的中的一项.

若中含的任何一项，除了，其余的个数均来自集合，这个数的乘积恰好为集合所对应的中的一项.

∴有关系式

（3）解：由，，，

猜想.下面证明：（i）易知时成立.

（ii）假设时，，

则时，

（其中，，2，…，k，为时可能的k个数的乘积的和为，

，即时，也成立，

综合（i）（ii）知对，成立.

∴.