Question

【题目】已知椭圆C的方程为 + =1（a＞b＞0），双曲线 ﹣ =1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为4 ．

（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F的直线l，交椭圆于A、B两点，记△AOF的面积为S1 ， △BOF的面积为S2 ， 当S1=2S2时，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由一条渐近线与x轴所成的夹角为30°，则 =tan30°= ，即a2=3b2，

由2c=4 ．c=2 ，则a2+b2=8，

解得：a2=8，b2=2，

∴椭圆的标准方程：

（2）解：由（1）可知：F（2，0），直线AB的方程：x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

，整理得：（t2+3）y2+4ty﹣2=0，

y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

由S1=2S2时，则y1=﹣2y2时，解得：t2= ，

将t2= ，代入y1y2=﹣ ，

x1x2=（ty1+2）（ty2+2）=t2y1y2+2t（y1+y2）+4，

= ，

由 =x1x2+y1y2= ﹣ = ，得：

=

【解析】（1）由双曲线的渐近线方程及斜率公式，即可求得a2=3b2，c=2 ，即a2+b2=8，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及y1=﹣2y2，即可求得t的值，分别求得y1y2，x1x2，利用向量数量积的坐标运算，即可求得 的值．