Question

【题目】如图所示，正方体 中， 分别是 的中点，将 沿 折起，使 .

（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）证明：设正方体的棱长为2，
在 中， ， ，所以 ，
∵ ， ，
∴ 平面 ，∵ ，∴ 平面 ，∴ ，
所以在 中，得
在 中，又 ，∴
又 ，∴ 平面 .
（2）解：取 的中点 ，则 ，由（1）知， 平面 .
所以平面 平面 ，所以 平面 ，作 ，垂足为 ，连接 ，
由三垂线定理知， ，
所以 就是所求二面角 的平面角.
在 中， ， ，
所以 ，所以 ，
所以二面角 的余弦值为 .
【解析】(1)平面图形的翻折问题中,要注意哪些因素改变,哪些因素不改变,由直线与平面图内两条相交直线都有垂直证明直线与平面垂直.
(2)先由二面角的定义找互二面角的一个平面图角,再在三角形中,通过解三角形求角.