Question

某工厂经奥组委授权生产销售伦敦奥运会吉祥物（精灵”文洛克”）饰品，生产该饰品的全部成本c与生产的饰品的件数x（单位：万件）满足函数c=1200+

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x3（单位：万元）；该饰品单价p（单位：元）的平方与生产的饰品件数x（单位：万件）成反比，现已知生产该饰品100万件时，其单价p=50元．且工厂生产的饰品都可以销售完．设工厂生产该饰品的利润为f（x）（万元）（注：利润=销售额-成本）
（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式．
（Ⅱ）当生产该饰品的件数x（万件）为多少时，工厂生产该饰品的利润最大．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出反比例关系式，代入x=100，p=50求出k的值，然后由题目给出的关系式列式；
（Ⅱ）求出（Ⅰ）中所得函数的导函数，利用导数求函数的极大值，也就是最大值．

解答：解：（Ⅰ）依题意：设p2=

k

x

，代入x=100，p=50，
得：k=25×10⁴，∴p=

500

x

，
故f(x)=500

x

-1200-

2

75

x3（x＞0）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′(x)=

250

x

-

6

75

x2
则f′(x)＞0?

250

x

＞

6

75

x2?0＜x＜25
所以函数f（x）在（0，25）上递增，在（25，+∞）上递减，
所以函数f（x）在x=25处有极大值．
因为f（x）在（0，+∞）上只有唯一极值，所以函数f（x）在x=25处有最大值．
故当生产该饰品25万件时，可以获得最大利润．

点评：本题考查了函数的模型的选择及应用，训练了简单的建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．