Question

【题目】如图1，在四边形中，，，，，，是上的点，，为的中点．将沿折起到的位置，使得，如图2．

（1）求证：平面平面；

（2）点在线段上，当直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）计算出、、的长，利用勾股定理证明出，，利用线面垂直的判定定理可证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论；

（2）以点为坐标原点，、所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，设点，求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法结合线面角的正弦值可求得的值，然后利用空间向量法可求得二面角的余弦值.

（1）因为，，所以.

又，所以，．

在中，，，，，所以．

在中，，，，所以，所以．

因为平面，平面，，所以平面．

又平面，所以平面平面；

（2）以点为坐标原点，、所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系如图所示，

则、、，设，其中，

则，，．

设平面的一个法向量为，

由，得，

令，则，，所以，

所以，

化简得，解得或（舍），

所以，．

设平面的一个法向量为，

由，得，

令，则，，所以，

所以．

由图可知二面角为锐二面角，

所以当直线与平面所成角的正弦值为时，二面角的余弦值为．