Question

A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角．

Answer 1

分析：建立坐标系，因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上，写出中垂线的方程，又|PB|-|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上，写出双曲线方程，将这2个方程联立方程组，解出交点P的坐标，由PA斜率计算炮击的方位角．

解答：解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则
B（-3，0）、A（3，0）、C（-5，2

3

）．
因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．
因为k_BC=-

3

，BC中点D（-4，

3

），
所以直线PD的方程为y-

3

=

1

3

（x+4）．①
又|PB|-|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上．
设P（x，y），则双曲线方程为

x2

4

-

y2

5

=1（x≥0）．②
联立①②，得x=8，y=5

3

，
所以P（8，5

3

）．因此k_PA=

5 3

8-3

=

3

．
故炮击的方位角为北偏东30°．

点评：本题考查双曲线方程的应用．