Question

【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，平面平面ABC，，.

（1）若，求证：平面平面PBC；

（2）若PA与平面ABC所成的角为，求二面角C-PB-A的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

(1)利用面面垂直的性质定理证明平面，由此即可证明平面平面；

(2)根据条件建立空间直角坐标系，求解出平面、平面的法向量，利用法向量夹角的余弦值求解出二面角的余弦值.

解：（1）证明：因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，，

所以平面PAC，由平面PAC，所以，

又因为，所以平面PBC，

因为平面PAB，所以平面平面PBC；

（2）过P作，因为平面平面ABC，

所以平面ABC，所以，

不妨设，所以，

以C为原点，分别以CA，CB所在的直线为x，y轴，以过C点且平行于PH的直线为z轴，

建立空间直角坐标系如图所示，

则，

，，

设为面PAB的一个法向量，

则有，即，令，可得，

设为面PBC的一个法向量，

则有，即，令，可得，

所以，

所以二面角C-PB-A的余弦值为.