Question

【题目】设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R
（1）证明：函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R的图象恒经过一个定点；
（2）若函数h（x）= f′（x）在（0，+∞）有定义，且不等式h（x）≤0在（0，+∞）上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：x=1时，f（1）=0，

故f（x）恒过（1，0）点

（2）解：∵f′（x）=2（x﹣a）lnx+ ，

∴h（x）=2xlnx+x﹣a，（x＞0），

若不等式h（x）≤0在（0，+∞）上有解，

则a≥（2xlnx+x）min即可，

令m（x）=2xlnx+x，（x＞0），则m′（x）=3+2lnx，

令m′（x）＞0，解得：x＞ ，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴m（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增，

∴m（x）min=m（ ）=﹣2 ，

∴a∈[ ，+∞）．

【解析】（1）求出x=1时，f（1）=0，得到函数f（x）恒过（1，0）即可；（2）问题转化为a≥（2xlnx+x）min即可，令m（x）=2xlnx+x，（x＞0），根据函数的单调性求出m（x）的最小值，从而求出a的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．