Question

【题目】设椭圆的焦点,过右焦点的直线与 相交于两点，若的周长为短轴长的倍.

（1）求的离心率;

（2）设的斜率为，在上是否存在一点,使得？若存在，求出点的坐标; 若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在

【解析】

试题分析：（1）求椭圆离心率，只需建立一个等量关系即可：因为的周长为，所以，注意短轴长为，即可得到（2）存在性问题，以算代证，有解就存在，无解就不存在. 设，，则，代入椭圆方程为化简得，再根据直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理得，计算 ，则与矛盾，故不存在

试题解析：（1）的周长为，依题意知，即 .

（2）设椭圆方程为，直线的方程为，代入椭圆方程得，

设，则,设，则 ①

由得,代入① 得 ,

因为 ②

而,从而 ②式不成立. 故不存在点，使成立.