Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，PA=AD=2，AC=1．
（Ⅰ）证明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值．

Answer 1

分析：（I）以

AD

、

AC

、

AP

为x、y、z正半轴方向，建立空间直角坐标系A-xyz如图．得出D、C、P各点的坐标，从而得出

PC

=（0，1，-2），

AD

=（2，0，0），再计算

PC

•

AD

=0，可得

PC

⊥

AD

，即PC⊥AD；
（II）利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组并解之，可得平面PCD的一个法向量

n

=（1，2，1），结合

AD

=（2，0，0）是平面PAC的法向量，算出

AD

，

n

夹角的余弦，即为二面角A-PC-D的余弦之值．最后用同角三角函数关系，不难得出二面角A-PC-D的正弦值．

解答：解：（I）以

AD

、

AC

、

AP

为x、y、z正半轴方向，建立空间直角坐标系A-xyz…（1分）
则D（2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2）…（3分）
∴

PC

=（0，1，-2），

AD

=（2，0，0），
可得

PC

•

AD

=0×2+1×0+（-2）×0=0，
∴

PC

⊥

AD

，即PC⊥AD；…（6分）
（II）

PC

=（0，1，-2），

CD

=（2，-1，0），
设平面PCD的一个法向量

n

=（x，y，z）．
则

n • PC =y-2z=0 n • CD =2x-y=0

，取z=1，得

n

=（1，2，1）…（10分）
∵

AD

=(2，0，0)是平面PAC的法向量…（11分）
∴cos＜

AD

，

n

＞=

| AD • n |

| AD |•| n |

=

6

6

，可得sin＜

AD

，

n

＞=

30

6

得：二面角A-PC-D的正弦值为

30

6

…（13分）

点评：本题给出四棱锥，求证线线垂直并求二面角的大小，着重考查了直线与平面垂直的性质、用空间向量求平面间的夹角等知识，属于中档题．