Question

【题目】设数列的前项和为,且.

(1)求出,,的值,并求出及数列的通项公式;

(2)设,求数列的前项和;

(3)设,在数列中取出(且)项,按照原来的顺序排列成一列,构成等比数列,若对任意的数列,均有,试求的最小值.

Answer 1

【答案】(1),,,.;(2)(3)2

【解析】

（1）利用及整理可知，通过计算出前三项的值，利用归纳推理猜想，进而利用数学归纳法证明即可；

（2）通过（1）裂项可知，进而分为奇数、偶数两种情况讨论即可；

（3）通过（1）可知，进而问题转化为求首项为1、公比为的等比数列的前项和．

解:(1)∵,

∴,即,

又∵,即,

∴,,

…

猜想:.

下面用数学归纳法来证明:

①当时,命题成立;

②假设当时,有,

则,

即当时,命题也成立;

由①②可知.

∴,

又∵满足上式,

∴数列的通项公式;

(2)由(1)可知,,

特别地,当为奇数时,为偶数,此时,

①若为偶数,则

;

②当为奇数且时,,

故,

又∵满足上式,

∴当为奇数时,;

由①②可知: ;

(3)由(1)可知,

∴,

由题意可知需等比数列的首项及公比均达到最大,显然首项为1公比为,

∴,

∵,

∴的最小值为2.