已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2）．
（1）求证：{an+1+2an}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设3nbn=n（3n-an），且|b1|+|b2|++|bn|＜m对于n∈N*恒成立，求m的取值范围．
分析：（1）由题设条件先推导出a
n+1+2a
n=3（a
n+2a
n-1）（n≥2），a
2+2a
1=15，由此可知数列{a
n+1+2a
n}是以15为首项，3为公比的等比数列．
（2）由a
n+1+2a
n=5•3
n和待定系数法能够求出数列{a
n}的通项公式．
（3）由3
nb
n=n（-2）
n，可知b
n=n（-
）
n，令S
n=|b
1|+|b
2|+…+|b
n|=（
）
2+2（
）
3+…+（n-1）（
）
n+n（
）
n+1，得S
n=6[1-（
）
n]-3n（
）
n+1＜6，由此能求出m的取值范围．
解答：解：（1）由a
n+1=a
n+6a
n-1，a
n+1+2a
n=3（a
n+2a
n-1）（n≥2）
∵a
1=5，a
2=5∴a
2+2a
1=15
故数列{a
n+1+2a
n}是以15为首项，3为公比的等比数列（5分）
（2）由（1）得a
n+1+2a
n=5•3
n由待定系数法可得（a
n+1-3
n+1）=-2（a
n-3
n）
即a
n-3
n=2（-2）
n-1故a
n=3
n+2（-2）
n-1=3
n-（-2）
n（9分）
（3）由3
nb
n=n（3
n-a
n）=n[3
n-3
n+（-2）
n]=n（-2）
n，
∴b
n=n（-
）
n令S
n=|b
1|+|b
2|+…+|b
n|
=（-
）+2（
）
2+3（
）
3+…+n（
）
nS
n
=（
）
2+2（
）
3+…+（n-1）（
）
n+n（
）
n+1（11分）
得S
n=+（
）
2+（
）
3+…+（
）
n-n（
）
n+1
=
-n（
）
n+1
=2[1-（
）
n]-n（
）
n+1∴S
n=6[1-（
）
n]-3n（
）
n+1＜6
要使得|b
1|+|b
2|+…+|b
n|＜m对于n∈N
*恒成立，只须m≥6（14分）
点评：本题综合考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意递推式的应用．
