Question

如下图，椭圆中心为O，F是焦点，A为顶点，准线l交OA延长线于B，P，Q在椭圆上且PD⊥l于D，QF⊥OA于F，则以下比值①

|PF|

|PD|

②

|QF|

|BF|

③

|AO|

|BO|

④

|AF|

|BA|

⑤

|FO|

|AO|

能作为椭圆的离心率的是______（填写所有正确的序号）

Answer 1

设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）依次分析5个比值的式子可得：
①、根据椭圆的第二定义，可得 e=

|PF|

|PD|

故符合；
②、根据椭圆的性质，可得|BF|=

a2

c

-c=

b2

c

，|QF|=

b2

a

，则

|QF|

|BF|

=

c

a

=e，故符合；
③、由椭圆的性质，可得|AO|=a，|BO|=

a2

c

，则

|AO|

|BO|

=

c

a

=e，故符合；
④由椭圆的性质，可得

|AF|

|BA|

=e，故符合；
⑤、由椭圆的性质，可得|AO|=a，|FO|=c，

|FO|

|AO|

=

c

a

=e，故符合；
故答案为①②③④⑤