【题目】甲、乙同学参加学校“一站到底”闯关活动，活动规则：①依次闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10分，闯第二关得20分，闯第三关得30分，一关都没过则没有得分．已知甲每次闯关成功的概率为
，乙每次闯关成功的概率为
．
（Ⅰ）设乙的得分总数为
，求
得分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲恰好比乙多30分的概率．
【答案】（Ⅰ）分布列见解析； 
（Ⅱ）甲恰好比乙多30分的概率为
【解析】试题分析：（1）先分析随机变量ξ的所有可能取值，再利用ξ取值的实际意义，运用独立事件同时发生的概率运算性质分别计算概率，最后画出分布列，利用期望计算公式计算期望即可；
（2）甲恰好比乙多30分包含两个互斥事件，即甲恰好得30分同时乙恰好得0分和甲恰好得60分且乙恰好得30分，分别计算两个互斥事件的概率再相加即可
试题解析：
解：（Ⅰ） 
的取值为0,10,30,60．
， 
， 
，
．
则
的分布如下表：
| 0 | 10 | 30 | 60 |
|
|
|
|
|
（Ⅱ）设甲恰好比乙多30分为事件
，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件
，甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件
，则
， 
为互斥事件．
．
所以，甲恰好比乙多30分的概率为
．
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】一片森林原面积为
．计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积的百分比相等．并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的
．已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的
．
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某品牌汽车的
店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表所示.已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元.
付款方式 | 分3期 | 分6期 | 分9期 | 分12期 |
频数 | 20 | 20 |
|
|
（1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3为顾客，求事件
：“至多有1位采用分6期付款“的概率
；
（2）按分层抽样方式从这100为顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量
，求
的分布列和数学期望
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】定义在 
上的函数 
若同时满足：①存在 
，使得对任意的 
，都有 
；② 
的图象存在对称中心．则称 
为“
函数”．已知函数 
和 
，则以下结论一定正确的是 
A. 
和 
都是 
函数 B. 
是 
函数， 
不是 
函数
C. 
不是 
函数， 
是 
函数 D. 
和 
都不是 
函数
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在四棱锥
中，侧面
与底面
垂直， 
为正三角形， 
， 
，点
分别为线段
的中点， 
分别为线段
上一点，且
， 
.
（1）当
时，求证： 
平面
；
（2）试问：直线
上是否存在一点
，使得平面
与平面
所成锐二面角的大小为
，若存在，求
的长；若不存在，请说明理由.
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