Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处得切线方程与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）若在上为单调递减函数，求的取值范围；

（Ⅲ）设，求证： .

Answer 1

【答案】(1) ；（2）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，根据，可求得的值；（Ⅱ） 在上为单调递减函数，等价于由题意在恒成立，即在恒成立，利用导数研究函数的单调性求出，从而可得结果；（Ⅲ）原不等式等价于.令，则，则，即，只需证明的最大值小于零即可.

试题解析：（Ⅰ） ，所以，

（Ⅱ）由题意在恒成立，即在恒成立.

设，则

，所以.

（Ⅲ）因为，不等式 ，

即.令，则，则，即.

令，由（Ⅱ）知， 在上单调递减，

所以当时， .故当时，不等式成立.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值、导数的几何意义以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题（Ⅱ）是利用方法 ① 求得的取值范围的.