Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求和的值；

（Ⅱ）讨论方程的解的个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ， ；（2）当时，方程无解；当或时，方程有唯一解；当时，方程有两解.

【解析】试题分析: （Ⅰ）求出导函数，利用在处的切线方程为,列出方程组求解;（Ⅱ）通过 ,判断方程的解出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当 时，方程无解；当或时，方程有唯一解；当时，方程有两解.

试题解析：（Ⅰ）因为，又在处得切线方程为，

所以，解得.

（Ⅱ）当时， 在定义域内恒大于0，此时方程无解.

当时， 在区间内恒成立，

所以为定义域为增函数，因为，

所以方程有唯一解.

当时， .

当时， ， 在区间内为减函数，

当时， ， 在区间内为增函数，

所以当时，取得最小值.

当时， ，无方程解；

当时， ，方程有唯一解.

当时， ，

因为，且，所以方程在区间内有唯一解，

当时，设，所以在区间内为增函数，

又，所以，即，故.

因为，所以.

所以方程在区间内有唯一解，所以方程在区间内有两解，

综上所述，当时，方程无解.