Question

【题目】如图，在底面边长为、高为的正六棱柱展厅内，长为，宽为的矩形油画挂在厅内正前方中间.

（1）求证：平面平面；

（2）当游客在上看油画的纵向视角（即）最大时，求与油画平面所成的角.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）.

【解析】

（1）连结，，可证，，即可得到面，从而得证；

（2）在矩形中，设，，则，，利用两角差的正切公式表示出，再利用基本不等式求出的最值，过点作交的延长线于点，连结，，则就是与面所成的角，再由勾股定理计算可得；

解：（1）连结，，因在正六棱柱中，

底面是正六边形，，

又，所以，

则，，

因是矩形，所以，

又，所以，

又，面，面，

所以面，又面，

所以平面平面.

（2）在矩形中，设，，

又，，

，，

，

，当时等号成立.

所以，故当时，即，最大.

过点作交的延长线于点，连结，.

在正六棱柱中，

面，面，所以面面，

面面，，面，

所以面，则为在面内的射影，

故就是与面所成的角.

在中，，，所以，

在中，，，所以，

在中，，，

所以，所以.

故游客在上看油画的纵向视角最大时，与油画平面所成的角为.