Question

【题目】圆：（）过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，试证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）由椭圆过点以及离心率为，结合，列方程组求解，即可得椭圆方程；

（Ⅱ）方法一：先考虑直线斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，对于斜率存在的情况，设直线：，与椭圆交点，，联立直线与椭圆的方程，消去并整理，利用判别式及韦达定理，从而可表示出，然后化简求解即可；

方法二：先考虑直线斜率为0的情况，再考虑直线斜率不为0时，对于斜率不为0的情况，设直线，后续过程同方法一.

（Ⅰ）椭圆：（）过点，

.①

又椭圆离心率为，

，

.②

联立①②得，解得，

椭圆的方程为.

（Ⅱ）方法一：

当直线斜率不存在时，

则，

；

当直线斜率存在时，

设直线：，与椭圆交点，.

联立，

消去并整理得.

由于，

，，

，

，

.

综上所述，.

方法二：

当直线斜率为0时，

，则；

当直线斜率不为0时，

设直线： 设与椭圆交点，，

联立，

消去并整理得.

由于，

，，

.

，

综上所述，.