Question

已知a∈R，f(x)=

x+1

-

2x

，g（x）=alnx
（1）当a=1时，求h（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上的最大值；
（2）若函数t（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导，令f′（x）＞0求出函数的增区间，令f′（x）＜0求出函数的减区间；
（2）由（Ⅰ）知，f（x）在[0，2]上的单调性，求得函数的极值，和f（0）、f（1）比较大小，确定函数的最大值．

解答：解：（1）当a=1时，h（x）=f（x）+g（x）=

x+1

-

2x

+lnx
函数的定义域为（0，+∞），
h′（x）=

1

2 x+1

- 

1

2x

 +

1

x

＞0
∴h（x）在（0，1]单调递增，
故函数h（x）_max=h（1）=0
（2）t′(x)=

1

2 x+1

-

1

2x

+

a

x

（x＞0）
∵t（x）在（0，1]上是增函数．
∴t'（x）≥0在（0，1]上恒成立．
即

1

2 x+1

-

1

2x

+

a

x

≥0在（0，1]上恒成立．
a≥

x

2x

-

x

2 x+1

在（0，1]上恒成立．
令h（x）=

x

2x

-

x

2 x+1

则原问题等价于求h（x）在（0，1]上的最大值．
h′(x)=

2x

4x

-

x+2

4(x+1) x+1

(x＞0)
现只要比较

2x

4x

与

x+2

4(x+1) x+1

大小，即可判断h'（x）的符号．
事实上

2x

4x

＞

x+2

4(x+1) x+1

（

2(x+1)3＞x(x+2)2 x3+2x2+2x+2＞0

在x＞0时恒成立．）
∴h'（x）＞0，即h（x）在（0，1]上是增函数．
∴h（x）在（0，1]上的最大值为h(1)=

2

4

∴a≥

2

4

．

点评：考查利用导数研究函数的单调性和最值，属难题．