Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）若函数f（x）在区间（a，a+ ）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f（x）≥ 恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）定义域为（0，+∞）， f，

由f′（x）=0x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，

则f（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，

所以函数f（x）在x=1处取得唯一的极值．

由题意得 ，故所求实数a的取值范围为

（2）解：当x≥1时，不等式 ．

令 ，由题意，k≤g（x）在[1，+∞）恒成立．

令h（x）=x﹣lnx（x≥1），则 ，当且仅当x=1时取等号．

所以h（x）=x﹣lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0

因此 ，则g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）min=g（1）=2

所以k≤2，即实数k的取值范围为（﹣∞，2]．

【解析】（1）求导数，确定函数f（x）在x=1处取得极大值，根据函数在区间（a，a+ ）（a＞0）上存在极值点，可得 ，即可求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，分离参数，构造 ，证明g（x）在[1，+∞）上是单调递增，所以[g（x）]min=g（1）=2，即可求实数k的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．