Question

【题目】设函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在上恰有2个零点，求的取值范围；

（3）当时，若对任意的正整数在区间上始终存在个整数使得成立，试问：正整数是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】分析：（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；

（2）得到=，令p（x）=，结合函数的单调性求出a的范围即可；

（3）求出h（x）的导数，根据函数的单调性求出h（x）的最值，从而求出m的范围即可．

详解：（1）函数的定义域为，所以

所以且

由导数几何意义知在点处的切线方程为，即

（2）由，∴

令，所以，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值.

因为，，且时，，

故，所以

（3）由题意，，

因为，所以

所以在上单调递增，

∴，

由题意，恒成立

令，且在上单调递增，

因此，而是正整数，故，

所以时，存在，时，

对所有满足题意，

∴.