Question

【题目】设函数f（x）= （x＞0），数列{an}满足 （n∈N* ， 且n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1anan+1 ， 若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a1为首项，公比为q（0＜q＜5，q∈N*）的数列{a }，k∈N* ， 使得数列{a }中每一项都是数列{an}中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{nk}的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为 ，（n∈N*，且n≥2），

所以an﹣an﹣1= ．

因为a1=1，

所以数列{an}是以1为首项，公差为 的等差数列．

所以an=

（2）解：①当n=2m，m∈N*时，Tn=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5++（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）++a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）=﹣ =﹣ =﹣ ．

②当n=2m﹣1，m∈N*时，Tn=T2m﹣1=T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1=﹣ = ．

所以Tn=

要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立，

只要使﹣ ，（n为偶数）恒成立．

只要使﹣ ，对n为偶数恒成立，

故实数t的取值范围为

（3）解：由an= ，知数列{an}中每一项都不可能是偶数．

①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，

此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}．

②当q=1时，显然不存在这样的数列{ank}．

当q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N*．

则 =1，n1=1， = ，nk= ．

所以满足条件的数列{nk}的通项公式为nk=

【解析】（1）由 ，（n∈N* ， 且n≥2），知 ．再由a1=1，能求出数列{an}的通项公式；（2）当n=2m，m∈N*时，Tn=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5++（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）++a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）= = = ．当n=2m﹣1，m∈N*时，Tn=T2m﹣1=T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1= = ．由此入手能求出实数t的取值范围．（3）由 ，知数列{an}中每一项都不可能是偶数．如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N* ， 此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}．当q=1时，显然不存在这样的数列{ank}．当q=3时， ，n1=1， ， ．所以满足条件的数列{nk}的通项公式为 ．