Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若， 恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，讨论函数的单调性．

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）详见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出当的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线方程；（Ⅱ）对进行变形，得在恒成立，再构造（），再对进行求导，即可求出，即可得到实数的取值范围；（Ⅲ）求出函数的导数，求出的零点或，分别对两个零点的大小关系作为分类讨论，即可得到函数的单调性.

试题解析：

解：（Ⅰ）当时， ，∴切线的斜率，

又， 在点处的切线方程为，

即．

（Ⅱ）∵对， 恒成立，∴在恒成立，

令（），，

当时， ，当时， ，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，故实数的取值范围为．

（Ⅲ）．

令，得或，

①当时， 恒成立，∴在上单调递增；

②当时， ，

由，得或；由，得．

∴单调递增区间为， ；单调减区间为．

③当时， ，

由，得或；由，得．

∴单调增区间为， ，单调减区间为．

综上所述：当时， 在上单调递增；

当时， 单调增区间为， ，单调减区间为；

当时， 单调增区间为， ，单调减区间为．