Question

设x＞0，y＞0，z＞0，且x²+y²+z²=1．
（Ⅰ）求证：xy+yz+xz≤1；   
（Ⅱ）求（

yz

x

+

xz

y

+

xy

z

）²的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用重要不等式x²+y²≥2xy，通过同向不等式可加性，直接求证：xy+yz+xz≤1；   
（Ⅱ）利用

y2z2

x2

+

x2z2

y2

≥2z²；

y2z2

x2

+

x2y2

z2

≥2y²；

x2z2

y2

+

x2y2

z2

≥2x²，推出（

yz

x

+

xz

y

+

xy

z

）²的不等关系，利用已知条件即可求出表达式的最小值．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为x²+y²≥2xy；  
 y²+z²≥2yz；   
 x²+z²≥2xz；
所以x²+y²+z²≥xy+yz+xz；
故xy+yz+xz≤1，
当且仅当x=y=z时取等号；---------------------（6分）
（Ⅱ）因为

y2z2

x2

+

x2z2

y2

≥2z²；

y2z2

x2

+

x2y2

z2

≥2y²；

x2z2

y2

+

x2y2

z2

≥2x²
所以

y2z2

x2

+

x2z2

y2

+

x2y2

z2

≥x²+y²+z²=1；
而（

yz

x

+

xz

y

+

xy

z

）²=

y2z2

x2

+

x2z2

y2

+

x2y2

z2

+2（x²+y²+z²）≥3
所以（

yz

x

+

xz

y

+

xy

z

）²≥3，当且仅当x=y=z时取等号；
故当x=y=z=

3

3

时，（

yz

x

+

xz

y

+

xy

z

）²的最小值为3．------------（14分）

点评：本题考查不等式的证明方法综合法的应用，重要不等式的应用，考查分析问题与解决问题的能力．