Question

【题目】如图，三棱锥中，点分别是的中点，点是的重心.

（1）证明：平面；

（2）若平面平面，，，，，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）延长交于点，点为的中点，则有，可证平面，平面，从而有平面平面，即可证明结论；

（2）由，得，再由平面平面，得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求出坐标，进而求出平面与平面的法向量坐标，即可求解.

（1）证明：延长交于点，点为的中点，

因为，分别是棱，的中点，

所以是的中位线，所以，

又平面，平面，

所以平面.

同理可证平面

又，平面，平面，

所以平面平面，

因为平面，所以平面

（2）连接，因为，

是的中点，所以，

又平面平面，平面平面，

平面，所以平面.

以为坐标原点，以向量所在的方向分别作为轴、轴的正方向，

以与向量垂直的方向为轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系

设，则，

，

，

设平面的一个法向量为，

则，即

令，得，于是取

又平面的一个法向量为，

则，即

令，得

于是取

设平面与平面的所成的锐二面角为

则

所以平面与平面的所成的锐二面角的余弦值为