Question

【题目】已知椭圆的中心为，左、右焦点分别为、，上顶点为，右顶点为，且、、成等比数列.

（1）求椭圆的离心率；

（2）判断的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直角三角形，理由见解析

【解析】

（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为、、，由题设可得及，消得a、c齐次式，解得离心率；

（2）设椭圆的方程为，则，，，.方法一：利用向量，方法二：利用斜率，方法三：利用勾股定理，可得到是直角三角形.

（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为、、，

则、、.

由题设及，消得：即.

解得：或.

又，则.

（2）方法一：设椭圆的方程为，

则，，，.

∴，，

∴，∴，

故，∴是直角三角形.

方法二：设椭圆的方程为，

则，，，.

∴，，

∴，∴，

故，∴是直角三角形.

方法三：由条件得：在中，，，.

，

，

∴，

故，∴是直角三角形.