【题目】定义在R上的函数y=f(x)是减函数,且对任意的a∈R,都有f(﹣a)+f(a)=0,若x、y满足不等式f(x2﹣2x)+f(2y﹣y2)≤0,则当1≤x≤4时,x﹣3y的最大值为( )
A.10
B.8
C.6
D.4
【答案】A
【解析】解:由于任意的a∈R都有f(﹣a)+f(a)=0,可知函数y=f(x)为奇函数,
由f(x2﹣2x)+f(2y﹣y2)≤0可得f(x2﹣2x)≤﹣f(2y﹣y2),
由函数为奇函数可得式f(x2﹣2x)≤f(﹣2y+y2),
∵函数y=f(x)为R上的减函数,
∴x2﹣2x≥﹣2y+y2 , 即x2﹣y2﹣2(x﹣y)≥0,
整理可得,(x+y﹣2)(x﹣y)≥0,
作出不等式组 所表示的平面区域即可行域如图所示的△ABC.
令Z=x﹣3y,则Z表示x﹣3y﹣z=0在y轴上的截距的相反数,
由图可知,当直线经过点C(4,﹣2)时Z最大,最大值为Z=4﹣3×(﹣2)=10;
故选:A.
【考点精析】关于本题考查的奇偶性与单调性的综合,需要了解奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能得出正确答案.
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【题目】如图,已知长方形中, , 为的中点,将沿折起,使得平面平面,设点是线段上的一动点(不与, 重合).
(Ⅰ)当时,求三棱锥的体积;
(Ⅱ)求证: 不可能与垂直.
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【题目】在数列中, ,其前项和为,满足,其中.
(1)设,证明:数列是等差数列;
(2)设为数列的前项和,求;
(3)设数列的通项公式为为非零整数),试确定的值,使得对任意,都有数列为递增数列.
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【题目】给出下列五个结论:
①在△ABC中,若sinA>sinB,则必有cosA<cosB;
②在△ABC中,若a,b,c成等比数列,则角B的取值范围为 ;
③等比数列{an}中,若a3=2,a7=8,则a5=±4;
④等差数列{an}的前n项和为Sn , S10<0且S11=0,满足Sn≥Sk对n∈N*恒成立,则正整数k构成集合为{5,6}
⑤若关于x的不等式(a2﹣1)x2﹣(a﹣1)x﹣1<0的解集为R,则a的取值范围为 .
其中正确结论的序号是 . (填上所有正确结论的序号).
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【题目】已知关于x的一元二次函数,分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对。
(1)若,,求函数在内是偶函数的概率;
(2)若,,求函数有零点的概率;
(3)若,,求函数在区间上是增函数的概率。
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【题目】已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且4sin2 ﹣cos2A=
(1)求角A的大小,
(2)若a= ,cosB= ,求△ABC的面积.
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【题目】已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量=( , ﹣1),=(cosA,sinA).若⊥ , 且αcosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为( )
A.,
B.,
C.,
D.,
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