Question

【题目】在数列中， ，其前项和为，满足，其中.

（1）设，证明：数列是等差数列；

（2）设为数列的前项和，求；

（3）设数列的通项公式为为非零整数），试确定的值，使得对任意，都有数列为递增数列.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）;（3）

【解析】试题分析：当数列提供与之间的递推关系时，证明某数列是等差数列，就是证明第n+1项与第n项的比是一个常数，这个分析给证明提供一个暗示，有了证明的目标，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用与两式相减，得出和的关系，达到证明的目的；利用错位相减法求和，要注意运算的准确，借助数列是递增数列，根据不等式恒成立的要求，利用“极值原理”求出参数的范围.

试题解析：

（1）当时， ，所以，

当时， ，

所以，即，所以（常数）

又，所以是首项为2，公差为1的对称数列，所以.

（2），

所以，

，

相减得，

所以.

（3）若数列为递增数列，可得，得，

化简得，

即，

进而对任意恒成立，

当为奇数时， ，所以；

当为偶数时， ，所以 ，

所以，又为非零整数，所以.