Question

【题目】已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线：y＝kx＋b（k≠0）交抛物线C于A、B两点，|AF|＋|BF|＝4，M（0，3）．

（1）若AB的中点为T，直线MT的斜率为，证明：k· 为定值；

（2）求△ABM面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）联立求出AB的中点坐标为T（2k，1），再计算得k·＝－1．（2）先求出点M到直线l距离，再求出，再求出 ，最后构造函数利用导数求面积的最大值得解.

（1）证明：联立，消去y得，x2－4kx－4b＝0，

△＝16k2＋16b＞0，即k2＋b＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由韦达定理得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，

因为|AF|＋|BF|＝4，

由抛物线定义得y1＋1＋y2＋1＝4，得y1＋y2＝2，

所以AB的中点坐标为T（2k，1），

所以，所以k·＝－1．

（2）由（1）得|x1－x2|2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝16（k2＋b），

，

设点M到直线l距离为d，则，

而由（1）知，y1＋y2＝kx1＋b＋kx2＋b＝k（x1＋x2）＋2b＝4k2＋2b＝2，

即2k2＋b＝1，即b＝1－2k2，由△＝16k2＋16b＞0，得0＜k2＜1，

所以 ，

令t＝k2，0＜t＜1，设f（t）＝（1＋t）2（1－t）＝1＋t－t2－t3，0＜t＜1，

＝1－2t－3t2＝（t＋1）（－3t＋1），时，＞0，f（t）为增函数；

时，＜0，f（t）为减函数；

所以当，，

所以，S△ABM的最大值为．