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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系中，曲线的参数方程为 为参数），过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点.

    （1）求的取值范围；

    （2）求中点的轨迹的参数方程.

    【答案】(1) (2) （为参数， ）.

    【解析】

    （1）求出曲线和直线的普通方程，通过直线与圆相交求出斜率的范围，从而得出倾斜角的范围；

    （2）设出对应的参数，联立直线与圆的方程，借助韦达定理表示的参数，从而得出点的轨迹的参数方程.

    解：（1） 曲线的直角坐标方程为,

    当时，与交于两点，

    当时，记，则的方程为，

    与交于两点当且仅当，

    解得或，

    即或，

    综上的取值范围是.

    （2）的参数方程为（为参数，），

    设对应的参数分别为，

    则且满足，

    由韦达定理可得：，

    故 ,

    又点的坐标满足

    所以点的轨迹的参数方程为 （为参数， ）.

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