Question

【题目】已知函数 ，其中.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若存在使得，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若当时恒有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.（Ⅲ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导数，得到的根，分类讨论，即可求解函数的单调区间；

（Ⅱ）令，转化为在上有解，即在上有解，又由关于单调递增，求得实数的取值范围；

（Ⅲ）由题意，得到，取得，得得，由（Ⅱ）知，分类讨论即可求解实数的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ） .

令得或.

当时，，在上单调递增；

当时，令得或，从而在，上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ） ，令，

则 ，当且仅当取得等号.

注意到 ，

原问题转化为在上有解，即在上有解，又关于单调递增，从而，

又，综合得.

（Ⅲ）令 ，

，

得，由（Ⅱ）知.

当，即时，，又，从而当时恒有，

当时，存在使得，即，即，

解得，，（舍去）.

从而当时，此时，矛盾.

综上.