Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点（点均在第一象限），与轴，轴分别交于两点，且满足（其中为坐标原点）.证明：直线的斜率为定值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率为，且过点，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，点的坐标分别为，由可得，由，消去，根据韦达定理可得，进而可得结果.

试题解析：（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为；

（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，

故可设直线的方程为，点的坐标分别为，

由，

化简得，，即，

由，消去得，

则，且，

故，

因此，即，

又，所以，又结合图象可知，，所以直线的斜率为定值.